Mi a függvény határa

Ebben a kiadványban a matematikai elemzés egyik fő fogalmát – a függvény határát: a definícióját, valamint a különféle megoldásokat gyakorlati példákkal – megvizsgáljuk.

Egy függvény határának meghatározása

Funkciókorlát – az az érték, amelyre ennek a függvénynek az értéke hajlik, amikor argumentuma a határértékhez tart.

Limit rekord:

• a határértéket a ikon jelzi lim;
• alatta hozzáadódik, hogy a függvény argumentuma (változója) milyen értékre hajlik. Általában ezt x, de nem feltétlenül, például:x→1″;
• akkor a függvény maga a jobb oldalra kerül, például:

  

Így a limit végső rekordja így néz ki (esetünkben):

Tetszik „az x függvény határa egységre hajlik”.

x→ 1 – ez azt jelenti, hogy az „x” következetesen olyan értékeket vesz fel, amelyek végtelenül közelítenek az egységhez, de soha nem esnek egybe vele (nem érik el).

Döntési korlátok

Adott számmal

Oldjuk meg a fenti határértéket. Ehhez egyszerűen cserélje ki az egységet a funkcióban (mert x→1):

Így a határérték megoldásához először megpróbáljuk egyszerűen behelyettesíteni az adott számot az alatta lévő függvénybe (ha x egy adott számra hajlik).

A végtelennel

Ebben az esetben a függvény argumentuma végtelenül növekszik, azaz "X" a végtelenbe hajlik (∞). Például:

If x→∞, akkor az adott függvény mínusz végtelenbe (-∞) hajlik, mert:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 stb.

Egy másik összetettebb példa

Ennek a határnak a megoldásához egyszerűen növelje meg az értékeket x és nézd meg a függvény „viselkedését” ebben az esetben.

• RџSЂRo x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRo x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRo x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Így, azért "X"a végtelenbe hajló, a függvény x² +3x –6 végtelenül nő.

Bizonytalansággal (x a végtelenbe hajlik)

Ebben az esetben határértékekről beszélünk, amikor a függvény olyan tört, amelynek számlálója és nevezője polinom. Ahol "X" a végtelenbe hajlik.

Példa: számoljuk ki a határt alább.

Megoldás

A kifejezések mind a számlálóban, mind a nevezőben a végtelenségig terjednek. Feltételezhető, hogy ebben az esetben a megoldás a következő lesz:

Azonban nem minden olyan egyszerű. A limit megoldásához a következőket kell tennünk:

1. megtalálja x a számláló legmagasabb hatványához (esetünkben ez kettő).

2. Hasonlóképpen definiáljuk x a nevező legnagyobb hatványához (szintén kettővel egyenlő).

3. Most a számlálót és a nevezőt is elosztjuk vele x felsőfokú végzettséggel. Esetünkben mindkét esetben – a másodikban, de ha eltérnek, akkor a legmagasabb fokozatot vegyük.

4. A kapott eredményben minden tört nullára hajlik, ezért a válasz 1/2.

Bizonytalansággal (x egy adott számra hajlamos)

A számláló és a nevező is polinom, de "X" egy adott számra hajlik, nem a végtelenre.

Ilyenkor feltételesen becsukjuk a szemünket, hogy a nevező nulla legyen.

Példa: Keressük meg az alábbi függvény határértékét.

Megoldás

1. Először cseréljük be az 1-es számot a függvénybe, amelyre "X". Megkapjuk a vizsgált forma bizonytalanságát.

2. Ezután a számlálót és a nevezőt faktorokra bontjuk. Ehhez használhatjuk a rövidített szorzóképleteket, ha alkalmasak, ill.

Esetünkben a kifejezés gyökerei a számlálóban (2x² – 5x + 3 = 0) az 1 és 1,5 számok. Ezért a következőképpen ábrázolható: 2(x-1)(x-1,5).

Névadó (x–1) kezdetben egyszerű.

3. Ilyen módosított limitet kapunk:

4. A tört a (x–1):

5. Már csak az 1-es számot kell behelyettesíteni a határ alatt kapott kifejezésben: