Ebben a kiadványban megvizsgáljuk az affin geometria egyik klasszikus tételét - a Ceva-tételt, amely Giovanni Ceva olasz mérnök tiszteletére kapott ilyen nevet. A bemutatott anyag konszolidálása érdekében a probléma megoldására egy példát is elemezünk.
A tétel kijelentése
Háromszög adott ABC, amelyben minden csúcs egy másik oldalon lévő ponthoz kapcsolódik.
Így három szegmenst kapunk (AA', BB' и CC'), amelyek az úgynevezett cevians.
Ezek a szakaszok akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban, ha a következő egyenlőség teljesül:
|ÉS'| |NEM'| |CB'| = |IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT'| |VÁLTÁS'| |AB'|
A tétel ebben a formában is bemutatható (meghatározható, hogy a pontok milyen arányban osztják el az oldalakat):
Ceva trigonometrikus tétele
Megjegyzés: minden sarok orientált.
Példa egy problémára
Háromszög adott ABC pontokkal NAK NEK', B ' и VS ' az oldalakon BC, AC и AB, ill. A háromszög csúcsai az adott pontokhoz kapcsolódnak, és a kialakított szakaszok egy ponton haladnak át. Ugyanakkor a pontokat NAK NEK' и B ' a megfelelő szemközti oldalak felezőpontjában vettük fel. Találd ki, milyen arányban a lényeg VS ' osztja az oldalt AB.
Megoldás
Rajzoljunk rajzot a feladat feltételei szerint! Kényelmünk érdekében a következő jelölést alkalmazzuk:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Már csak a szegmensek arányát kell összeállítani a Ceva-tétel szerint, és behelyettesíteni az elfogadott jelöléssel:
A törtek csökkentése után a következőket kapjuk:
Ennélfogva, AC' = C'B, azaz pont VS ' osztja az oldalt AB félbe.
Ezért a háromszögünkben a szakaszok AA', BB' и CC' mediánok. A feladat megoldása után bebizonyítottuk, hogy egy pontban metszik egymást (bármilyen háromszögre érvényes).
Jegyzet: A Ceva-tétel segítségével bebizonyítható, hogy egy háromszögben egy pontban a felezők vagy magasságok is metszik egymást.