Komplex szám gyökének kinyerése

Ebben a kiadványban megvizsgáljuk, hogyan veheti fel egy komplex szám gyökerét, és hogyan segíthet ez olyan másodfokú egyenletek megoldásában, amelyek diszkriminancia értéke kisebb, mint nulla.

Komplex szám gyökének kinyerése

Négyzetgyök

Mint tudjuk, lehetetlen a negatív valós szám gyökerét venni. De ha összetett számokról van szó, ez a művelet végrehajtható. Találjuk ki.

Tegyük fel, hogy van egy számunk z = -9. Fórum √-9 két gyökér van:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Ellenőrizzük a kapott eredményeket az egyenlet megoldásával z² = -9, ezt nem feledve i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ én² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ én² = 9 ⋅ (-1) = -9

Így ezt bebizonyítottuk -3i и 3i gyökerek √-9.

A negatív szám gyökerét általában így írják:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i elvisszük helyi falvakba ahol megismerkedhet az őslakosok kultúrájával; ...

Gyökér n hatványához

Tegyük fel, hogy az alak egyenleteit kapjuk z = ⁿ√w… Megvan n gyökerek (z₀, A₁, A₂,…, z_{n 1 XNUMX}), amely az alábbi képlettel számítható ki:

|w| egy komplex szám modulja w;

φ – érvelése

k egy olyan paraméter, amely a következő értékeket veszi fel: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Másodfokú egyenletek összetett gyökökkel

A negatív szám gyökerének kinyerése megváltoztatja az uXNUMXbuXNUMXb szokásos elképzelését. Ha a diszkriminatív (D) kisebb, mint nulla, akkor nem lehetnek valós gyökök, de komplex számként ábrázolhatók.

Példa

Oldjuk meg az egyenletet x² – 8x + 20 = 0.

Megoldás

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, de a negatív diszkrimináns gyökerét továbbra is felvehetjük:

√D = √-16 = ±4i

Most kiszámolhatjuk a gyökereket:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Ezért az egyenlet x² – 8x + 20 = 0 két összetett konjugált gyökere van:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i