Komplex szám felemelése természetes hatványra

Ebben a kiadványban megvizsgáljuk, hogyan lehet egy komplex számot hatványra emelni (beleértve a De Moivre-képletet is). Az elméleti anyagot példák kísérik a jobb megértés érdekében.

Komplex szám hatványra emelése

Először is ne feledje, hogy a komplex szám általános alakja: z = a + bi (algebrai forma).

Most közvetlenül folytathatjuk a probléma megoldását.

Négyzetszám

Képviselhetjük a fokozatot ugyanazon tényezők szorzataként, majd megkereshetjük a szorzatukat (miközben emlékezünk erre i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Példa 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Használhatja az összeg négyzetét is:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Jegyzet: Ugyanígy szükség esetén képleteket kaphatunk a különbség négyzetére, az összeg / különbség kockájára stb.

N-edik fokozat

Emelj fel egy komplex számot z természetben n sokkal könnyebb, ha trigonometrikus formában ábrázoljuk.

Emlékezzünk vissza, hogy általában egy szám jelölése így néz ki: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

A hatványozáshoz használhatja De Moivre képlete (Abraham de Moivre angol matematikusról nevezték el):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

A képletet trigonometrikus formátumú írással kapjuk meg (a modulokat megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk).

Példa 2

Emelj fel egy komplex számot z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) nyolcadik fokig.

Megoldás

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).