Kifejezések identitástranszformációi

Ebben a kiadványban megvizsgáljuk az algebrai kifejezések azonos transzformációinak főbb típusait, képletekkel és példákkal kísérve ezek gyakorlati alkalmazását. Az ilyen átalakítások célja, hogy az eredeti kifejezést egy azonos kifejezéssel helyettesítsék.

A kifejezések és tényezők átrendezése

Bármely összegben átrendezheti a feltételeket.

a + b = b + a

Bármely termékben átrendezheti a tényezőket.

a ⋅ b = b ⋅ a

példák:

• 1 + 2 = 2 + 1
• 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Kifejezések csoportosítása (szorzók)

Ha 2-nél több kifejezés van az összegben, akkor azokat zárójelben lehet csoportosítani. Ha szükséges, először kicserélheti őket.

a + b + c + d = (a + c) + (b + d)

A termékben csoportosíthatja a tényezőket is.

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c)

példák:

• 15 + 6 + 5 + 4 = (15 + 5) + (6 + 4)
• 6 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 4 = (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás ugyanazzal a számmal

Ha ugyanazt a számot hozzáadjuk vagy kivonjuk az azonosság mindkét részéhez, akkor az igaz marad.

If a + b = c + dakkor (a + b) ± e = (c + d) ± e.

Az egyenlőség akkor sem sérül, ha mindkét részét azonos számmal szorozzuk vagy osztjuk.

If a + b = c + dakkor (a + b) ⋅/: e = (c + d) ⋅/: e.

példák:

• 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
• 42 + 14 = 7 ⋅ 8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Különbség helyettesítése összeggel (gyakran termékkel)

Bármilyen eltérést kifejezések összegeként lehet ábrázolni.

a – b = a + (-b)

Ugyanezt a trükköt alkalmazhatjuk az osztásnál is, azaz a gyakori helyett termékkel.

a : b = a ⋅ b^-1

példák:

• 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
• 42 : 3 = 42 ⋅ 3^-1

Aritmetikai műveletek végrehajtása

Számtani műveletek (összeadás, kivonás, szorzás és osztás) elvégzésével egyszerűsítheti a matematikai kifejezést (néha jelentősen), figyelembe véve az általánosan elfogadott végrehajtási sorrend:

• először hatványra emeljük, kivonjuk a gyököket, kiszámítjuk a logaritmusokat, trigonometrikus és egyéb függvényeket;
• majd a zárójelben lévő műveleteket hajtjuk végre;
• végül balról jobbra hajtsa végre a többi műveletet. A szorzás és az osztás elsőbbséget élvez az összeadással és kivonással szemben. Ez vonatkozik a zárójelben lévő kifejezésekre is.

példák:

• 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
• 20 : 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 - 9 + 16 = 132

Konzol bővítése

Az aritmetikai kifejezések zárójelei eltávolíthatók. Ezt a műveletet bizonyos szabályok szerint hajtják végre – attól függően, hogy mely jelek („plusz”, „mínusz”, „szorzás” vagy „osztás”) vannak a zárójelek előtt vagy után.

példák:

• 117 + (90-74-38) = 117 + 90 - 74 - 38
• 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 - 192
• 22⋅(8+14) = 22 ⋅ 8 + 22 ⋅ 14
• 18 : (4-6) = 18: 4-18: 6

A közös tényező zárójelbe állítása

Ha a kifejezésben minden tagnak van közös tényezője, akkor ez kivehető a zárójelből, amelyben az ezzel a tényezővel osztva maradnak. Ez a technika a literális változókra is vonatkozik.

példák:

• 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 5⋅(3+6)
• 28 + 56 – 77 = 7 ⋅ (4 + 8 – 11)
• 31x + 50x = x ⋅ (31 + 50)

Rövidített szorzóképletek alkalmazása

Algebrai kifejezések azonos transzformációinak végrehajtására is használható.

példák:

• (31 + 4)² = 31² + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4² = 1225
• 26² - 7² = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627