Derékszögű háromszög magassági tulajdonságai

Ebben a kiadványban megvizsgáljuk a magasság fő tulajdonságait egy derékszögű háromszögben, és elemezzük a témával kapcsolatos problémák megoldásának példáit.

Jegyzet: a háromszöget hívják négyszögletes, ha az egyik szöge derékszögű (egyenlő 90°), a másik kettő pedig hegyes (<90°).

Magasságtulajdonságok derékszögű háromszögben

Tulajdonság 1

Egy derékszögű háromszögnek két magassága van (h₁ и h₂) egybeesik a lábával.

harmadik magasság (h₃) derékszögből leereszkedik a hipotenuszra.

Tulajdonság 2

A derékszögű háromszög ortocentruma (a magasságok metszéspontja) a derékszög csúcsánál van.

Tulajdonság 3

A befogóhoz húzott derékszögű háromszög magassága két hasonló derékszögű háromszögre osztja, amelyek szintén hasonlóak az eredetihez.

1. △USA ~ △ABC két egyenlő szögben: ∠ADB = ∠LAC (egyenesek), ∠USA = ∠ABC.

2. △ADC ~ △ABC két egyenlő szögben: ∠ADC = ∠LAC (egyenesek), ∠CDA = ∠ACB.

3. △USA ~ △ADC két egyenlő szögben: ∠USA = ∠DAC, ∠BAD = ∠CDA.

Bizonyíték: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Ugyanakkor ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Ezért ∠BAD = ∠CDA.

Hasonló módon igazolható, hogy ∠USA = ∠DAC.

Tulajdonság 4

Egy derékszögű háromszögben a hipotenuszhoz húzott magasságot a következőképpen számítjuk ki:

1. Szegmenseken keresztül a hypotenuson, amely a magasság alapjával való osztás eredményeként alakult ki:

2. A háromszög oldalainak hosszán keresztül:

Ez a képlet abból származik Hegyesszög szinuszának tulajdonságai derékszögű háromszögben (a szög szinusza egyenlő a szemközti láb és a hipotenúzus arányával):

Jegyzet: derékszögű háromszögre, a kiadványunkban bemutatott általános magassági tulajdonságok is érvényesek.

Példa egy problémára

Feladat 1

Egy derékszögű háromszög befogóját a hozzá húzott magassággal 5 és 13 cm-es szakaszokra osztjuk. Keresse meg ennek a magasságnak a hosszát.

Megoldás

Használjuk az elsőként bemutatott képletet Tulajdonság 4:

Feladat 2

Egy derékszögű háromszög lábai 9 és 12 cm. Határozza meg a hipotenuszhoz húzott magasság hosszát.

Megoldás

Először is keressük meg a befogó hosszát (legyen a háromszög lábai "nak nek" и "B", a hipotenúza pedig az "vs"):

c² =A² + B² = 9² + 12² = 225.

Következésképpen a с = 15 cm.

Most alkalmazhatjuk a második képletet Tulajdonságok 4fentebb tárgyaltuk: