Ebben a kiadványban megvizsgáljuk az euklideszi geometria egyik fő tételét – Stewart tételét, amely M. Stewart angol matematikus tiszteletére kapta ezt a nevet, aki bebizonyította. Részletesen elemezzük a probléma megoldásának példáját is, hogy megszilárdítsuk a bemutatott anyagot.
A tétel kijelentése
Dan háromszög ABC. Az ő oldalán AC megértettem az álláspontodat D, amely a tetejéhez kapcsolódik B. Elfogadjuk a következő jelölést:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = és
Erre a háromszögre igaz az egyenlőség:
A tétel alkalmazása
Stewart tételéből képletek származtathatók a háromszög mediánjainak és felezőinek meghatározására:
1. A felező hosszúsága
Legyen lc a felezőt oldalra húzzuk c, amely szegmensekre van osztva x и y. Vegyük a háromszög másik két oldalát mint a и b… Ebben az esetben:
2. Középhossz
Legyen mc a medián oldalra le van fordítva c. A háromszög másik két oldalát jelöljük így a и b… Akkor:
Példa egy problémára
Háromszög adott ABC. Oldalán AC egyenlő 9 cm, megértettem az álláspontodat D, amely úgy osztja el az oldalt, hogy AD kétszer olyan hosszú DC. A csúcsot összekötő szakasz hossza B és pont D, 5 cm. Ebben az esetben a kialakult háromszög USA egyenlő szárú. Keresse meg a háromszög többi oldalát ABC.
Megoldás
Ábrázoljuk rajz formájában a probléma körülményeit.
AC = AD + DC = 9 cm. AD hosszabb DC kétszer, pl AD = 2DC.
Következésképpen a 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Így, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Mert háromszög USA – egyenlő szárú, és oldal AD 6 cm, tehát egyenlők AB и BDIe AB = 5 cm.
Már csak meg kell találni BC, levezetve a képletet Stewart tételéből:
Az ismert értékeket behelyettesítjük ebbe a kifejezésbe:
Ily módon, BC = √52 ≈ 7,21 cm.