Fermat kis tétele

Ebben a kiadványban megvizsgáljuk az egész számok elméletének egyik fő tételét –  Fermat kis tételePierre de Fermat francia matematikusról nevezték el. A bemutatott anyag megszilárdítása érdekében egy példát is elemezünk a probléma megoldására.

A tétel kijelentése

1. Kezdeti

If p egy prímszám a egy egész szám, amely nem osztható vele pakkor a^p-1 - 1 osztva p.

Formálisan így van írva: a^p-1 ≡ 1 (ellen p).

Jegyzet: A prímszám olyan természetes szám, amely csak XNUMX-szal és önmagával osztható maradék nélkül.

Például:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• szám 15 osztva 5 maradék nélkül.

2. Alternatív

If p egy prímszám, a akkor tetszőleges egész szám a^p hasonló a a modul p.

a^p ≡ a (ellen p)

A bizonyítékok megtalálásának története

Pierre de Fermat 1640-ben fogalmazta meg a tételt, de maga nem bizonyította. Később ezt Gottfried Wilhelm Leibniz, német filozófus, logikus, matematikus stb. tette meg. Úgy tartják, hogy 1683-ban már megvolt a bizonyíték, bár soha nem tették közzé. Figyelemre méltó, hogy Leibniz maga fedezte fel a tételt, nem tudván, hogy már korábban megfogalmazták.

A tétel első bizonyítása 1736-ban jelent meg, és Leonhard Euler svájci, német matematikus és mechanikusé. A Fermat-féle kis tétel az Euler-tétel speciális esete.

Példa egy problémára

Keresse meg egy szám maradékát 2¹² on 12.

Megoldás

Képzeljünk el egy számot 2¹² as 2-2¹¹.

11 egy prímszám, ezért Fermat kis tételével azt kapjuk, hogy:

2¹¹ ≡ 2 (ellen 11).

Ennélfogva, 2-2¹¹ ≡ 4 (ellen 11).

Tehát a szám 2¹² osztva 12 a maradékkal egyenlő 4.