Az inverz mátrix megtalálása

Ebben a kiadványban megvizsgáljuk, mi az inverz mátrix, és egy gyakorlati példán keresztül elemezzük, hogyan lehet megtalálni egy speciális képlet és egy algoritmus segítségével a szekvenciális műveletekhez.

Az inverz mátrix definíciója

Először is emlékezzünk arra, hogy mik a reciprok a matematikában. Tegyük fel, hogy megvan a 7-es szám. Ekkor az inverze 7 lesz^-1 or ¹/₇. Ha ezeket a számokat megszorozzuk, az eredmény egy, azaz 7 7 lesz^-1 = 1.

Majdnem ugyanez a helyzet a mátrixokkal. Fordított egy ilyen mátrixot hívnak, amelyet megszorozva az eredetivel, megkapjuk az azonosságot. Így van megjelölve A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritmus az inverz mátrix megtalálására

Az inverz mátrix megtalálásához képesnek kell lennie mátrixok kiszámítására, valamint bizonyos műveletek végrehajtásához velük.

Azonnal meg kell jegyezni, hogy az inverz csak négyzetmátrix esetén található, és ez az alábbi képlet segítségével történik:

|A| – mátrix determináns;

A^T_M az algebrai összeadások transzponált mátrixa.

Jegyzet: ha a determináns nulla, akkor az inverz mátrix nem létezik.

Példa

Keressük a mátrixot A alább ennek a fordítottja látható.

Megoldás

1. Először keressük meg az adott mátrix determinánsát.

2. Most készítsünk egy mátrixot, amelynek méretei megegyeznek az eredetivel:

Ki kell találnunk, hogy mely számok helyettesítsék a csillagokat. Kezdjük a mátrix bal felső elemével. A hozzá tartozó kisebbet úgy találjuk meg, hogy áthúzzuk azt a sort és oszlopot, amelyben található, azaz mindkét esetben az első helyen.

Az áthúzás után maradó szám a szükséges moll, azaz M₁₁ = 8.

Hasonlóképpen megkeressük a mátrix többi eleméhez tartozó minorokat, és a következő eredményt kapjuk.

3. Meghatározzuk az algebrai összeadások mátrixát. Hogyan kell kiszámítani őket az egyes elemekhez, azt külön tárgyaltuk.

Például egy elemhez a₁₁ Az algebrai összeadást a következőképpen tekintjük:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Hajtsa végre a kapott algebrai összeadások mátrixának transzponálását (azaz cserélje fel az oszlopokat és a sorokat).

5. Már csak a fenti képlet felhasználása marad az inverz mátrix megtalálásához.

Meghagyhatjuk a választ ebben a formában, anélkül, hogy a mátrix elemeit elosztanák 11-gyel, hiszen ebben az esetben csúnya törtszámokat kapunk.

Az eredmény ellenőrzése

Hogy megbizonyosodjunk arról, hogy az eredeti mátrix inverzét kaptuk, megkereshetjük a szorzatukat, amelynek meg kell egyeznie az identitásmátrixszal.

Ennek eredményeként megkaptuk az identitásmátrixot, ami azt jelenti, hogy mindent jól csináltunk.