Mátrix rang: definíció, keresési módszerek

Ebben a kiadványban megvizsgáljuk a mátrix rangjának meghatározását, valamint azokat a módszereket, amelyekkel ez megtalálható. Példákat is elemezünk az elmélet gyakorlati alkalmazásának bemutatására.

Mátrix rangjának meghatározása

Mátrix rang a sorok vagy oszlopok rendszerének rangja. Minden mátrixnak megvannak a sor- és oszlopsorai, amelyek megegyeznek egymással.

Sorrendszer rangja a lineárisan független sorok maximális száma. Az oszloprendszer rangját hasonló módon határozzuk meg.

Megjegyzések:

• A nulla mátrix rangja (a " szimbólummal jelölveθ“) bármilyen méretű nulla.
• Bármely nullától eltérő sorvektor vagy oszlopvektor rangja eggyel egyenlő.
• Ha egy tetszőleges méretű mátrix legalább egy olyan elemet tartalmaz, amely nem egyenlő nullával, akkor a rangja nem kisebb egynél.
• A mátrix rangja nem nagyobb, mint a minimális mérete.
• A mátrixon végrehajtott elemi transzformációk nem változtatják meg a rangját.

Egy mátrix rangjának megtalálása

Fringing Minor módszer

Egy mátrix rangja megegyezik a nem nulla maximális sorrendjével.

Az algoritmus a következő: megtalálni a kiskorúakat a legalacsonyabb rendektől a legmagasabbakig. Ha kiskorú na sorrend nem egyenlő nullával, és az összes következő (n+1) értéke 0, tehát a mátrix rangja az n.

Példa

Hogy világosabb legyen, vegyünk egy gyakorlati példát, és keressük meg a mátrix rangját A alább, a kiskorúak határolásának módszerével.

Megoldás

4 × 4-es mátrixról van szó, ezért a rangja nem lehet magasabb 4-nél. A mátrixban is vannak nem nulla elemek, ami azt jelenti, hogy a rangja nem kisebb egynél. Tehát kezdjük:

1. Kezdje el az ellenőrzést másodrendű kiskorúak. Először két sort veszünk az első és a második oszlopból.

A kisebb egyenlő nullával.

Ezért továbblépünk a következő kisebbre (az első oszlop megmarad, és a második helyett a harmadikat vesszük).

A moll 54≠0, tehát a mátrix rangja legalább kettő.

Jegyzet: Ha ez a minor nullának bizonyulna, akkor tovább ellenőrizzük a következő kombinációkat:

Igény esetén a felsorolás ugyanúgy folytatható karakterláncokkal:

• 1 és 3;
• 1 és 4;
• 2 és 3;
• 2 és 4;
• 3 és 4.

Ha minden másodrendű kiskorú nulla lenne, akkor a mátrix rangja eggyel egyenlő lenne.

2. Szinte azonnal sikerült egy hozzánk illő kiskorút találni. Tehát lépjünk tovább harmadrendű kiskorúak.

A másodrendű talált mollhoz, amely nem nulla eredményt adott, hozzáadunk egy sort és az egyik zölddel kiemelt oszlopot (a másodikból indulunk ki).

A kiskorú nullának bizonyult.

Ezért a második oszlopot a negyedikre cseréljük. A második próbálkozásra pedig sikerül olyan minort találnunk, amelyik nem egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a mátrix rangja nem lehet kisebb 3-nál.

Jegyzet: ha az eredmény ismét nulla lett, a második sor helyett a negyediket vinnénk tovább, és folytatnánk a „jó” kiskorú keresését.

3. Most már meg kell határozni negyedrendű kiskorúak a korábban találtak alapján. Ebben az esetben egy olyan, amely megegyezik a mátrix determinánsával.

A kisebb értéke 144≠0. Ez azt jelenti, hogy a mátrix rangja A egyenlő 4.

Mátrix redukálása lépcsős formára

Egy lépésmátrix rangja megegyezik a nem nulla sorok számával. Vagyis csak annyit kell tennünk, hogy a mátrixot a megfelelő formába hozzuk, például a segítségével, amely, mint fentebb említettük, nem változtat a rangján.

Példa

Keresse meg a mátrix rangját B lent. Nem veszünk túl bonyolult példát, mert a fő célunk csupán a módszer gyakorlati alkalmazásának bemutatása.

Megoldás

1. Először vonja ki a megduplázott elsőt a második sorból.

2. Most vonja ki az első sort a harmadik sorból, megszorozva néggyel.

Így kaptunk egy lépésmátrixot, amelyben a nullától eltérő sorok száma kettővel egyenlő, ezért a rangja is 2-vel egyenlő.