Lineáris függő és független sorok: definíció, példák

Ebben a kiadványban megvizsgáljuk, mi a karakterláncok lineáris kombinációja, a lineárisan függő és független karakterláncok. Példákat is hozunk az elméleti anyag jobb megértése érdekében.

A karakterláncok lineáris kombinációjának meghatározása

Lineáris kombináció (LK) kifejezés s₁A₂, …, s_n mátrix A a következő formájú kifejezésnek nevezzük:

aS₁ + αs₂ + … + αs_n

Ha minden együttható α_i egyenlőek nullával, tehát LC az jelentéktelen. Más szavakkal, a triviális lineáris kombináció megegyezik a nulla sorral.

Például: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

Ennek megfelelően, ha az együtthatók legalább egyike α_i nem egyenlő nullával, akkor LC az nem triviális.

Például: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Lineárisan függő és független sorok

A húrrendszer az lineárisan függő (LZ), ha van ezeknek egy nem triviális lineáris kombinációja, amely egyenlő a nulla egyenessel.

Ebből következik, hogy egy nem triviális LC bizonyos esetekben egyenlő lehet a nulla karakterlánccal.

A húrrendszer az lineárisan független (LNZ), ha csak a triviális LC egyenlő a null karakterlánccal.

Megjegyzések:

• Négyzetes mátrixban a sorrendszer csak akkor LZ, ha ennek a mátrixnak a determinánsa nulla (a = 0).
• Négyzetes mátrixban a sorrendszer csak akkor LIS, ha ennek a mátrixnak a determinánsa nem egyenlő nullával (a ≠ 0).

Példa egy problémára

Nézzük meg, hogy a húrrendszer az {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} lineárisan függő.

Döntés:

1. Először készítsünk egy LC-t.

α₁{3 4} + a₂9 12}.

2. Most nézzük meg, milyen értékeket kell venni α₁ и α₂hogy a lineáris kombináció egyenlő legyen a null karakterlánccal.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Készítsünk egyenletrendszert:

4. Ossza el az első egyenletet hárommal, a másodikat néggyel:

5. Ennek a rendszernek a megoldása bármilyen α₁ и α₂, Val vel α₁ = -3a₂.

Például, ha α₂ = 2akkor α₁ = -6. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a fenti egyenletrendszerbe, és megkapjuk:

Válasz: tehát a vonalak s₁ и s₂ lineárisan függő.