Lineáris algebrai egyenletrendszer

Ebben a kiadványban megvizsgáljuk egy lineáris algebrai egyenletrendszer (SLAE) definícióját, hogyan néz ki, milyen típusai vannak, és hogyan kell bemutatni mátrix formában, beleértve a kiterjesztett változatot is.

Lineáris egyenletrendszer definíciója

Lineáris algebrai egyenletrendszer (vagy röviden "SLAU") egy rendszer, amely általában így néz ki:

• m az egyenletek száma;
• n a változók száma.
• x₁, x₂,…, x_n – ismeretlen;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – együtthatók ismeretlenekre;
• b₁, b₂,…, b_m – ingyenes tagok.

Együttható indexek (a_ij) a következőképpen alakulnak:

• i a lineáris egyenlet száma;
• j annak a változónak a száma, amelyre az együttható vonatkozik.

SLAU megoldás – ilyen számok c₁, C₂,…, c_n , melynek beállításában ahelyett x₁, x₂,…, x_n, a rendszer összes egyenlete azonossággá változik.

A SLAU típusai

1. Homogén – a rendszer minden szabad tagja egyenlő nullával (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogén – ha a fenti feltétel nem teljesül.
3. Négyzet – az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával, azaz m = n.

   

4. Alulhatározott – az ismeretlenek száma nagyobb, mint az egyenletek száma.

   

5. felülírják Több egyenlet van, mint változó.

   

A megoldások számától függően az SLAE lehet:

1. Közös van legalább egy megoldása. Sőt, ha egyedi, akkor a rendszert határozottnak, ha több megoldás létezik, akkor határozatlannak.

   

   A fenti SLAE közös, mert legalább egy megoldás létezik: x = 2, y = 3.

2. összeférhetetlen A rendszernek nincsenek megoldásai.

   

   Az egyenletek jobb oldala ugyanaz, de a bal oldala nem. Így nincsenek megoldások.

A rendszer mátrixjelölése

Az SLAE mátrix formában ábrázolható:

AX = B

• A az ismeretlenek együtthatóiból képzett mátrix:

  

• X – változók oszlopa:

  

• B – ingyenes tagok oszlopa:

  

Példa

Az alábbi egyenletrendszert mátrix formában ábrázoljuk:

A fenti formák segítségével összeállítjuk a főmátrixot együtthatókkal, ismeretlen és szabad tagú oszlopokkal.

Az adott egyenletrendszer teljes nyilvántartása mátrix formában:

Kiterjesztett SLAE mátrix

Ha a rendszer mátrixára A ingyenes tagok oszlop hozzáadása a jobb oldalon B, az adatokat függőleges sávval elválasztva egy kiterjesztett SLAE mátrixot kapunk.

A fenti példa esetében ez így néz ki:

– a kiterjesztett mátrix megjelölése.