Vektorok keresztszorzata

Ebben a kiadványban megvizsgáljuk, hogyan találjuk meg két vektor keresztszorzatát, adjuk meg ennek a műveletnek a geometriai értelmezését, egy algebrai képletét és tulajdonságait, valamint elemezzük a probléma megoldásának egy példáját.

Geometriai értelmezés

Két nullától eltérő vektor vektorszorzata a и b egy vektor c, amelyet a következővel jelölünk [a, b] or a x b.

Vektor hossza c egyenlő a vektorok segítségével megszerkesztett paralelogramma területével a и b.

Ebben az esetben, c merőlegesek arra a síkra, amelyben vannak a и b, és úgy van elhelyezve, hogy a legkevesebb forgás legyen a к b az óramutató járásával ellentétes irányban végeztük el (a vektor vége szempontjából).

Kereszttermék formula

Vektorok szorzata a = {a_x; nak nek_y,_z} i b = {b_x; b_y, b_z} kiszámítása az alábbi képletek egyikével történik:

Kereszttermék tulajdonságai

1. Két nem nulla vektor keresztszorzata akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha ezek a vektorok kollineárisak.

[a, b] = 0, Ha a || b.

2. Két vektor keresztszorzatának modulja egyenlő az ezen vektorok által alkotott paralelogramma területével.

S_párhuzamos = |a x b|

3. Egy két vektor által alkotott háromszög területe megegyezik a vektorszorzatuk felével.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Egy vektor, amely két másik vektor keresztszorzata, merőleges rájuk.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (m a) x a = a x (m b) = m (a x b)

7. (a + b) x c = a x c + b x c

Példa egy problémára

Számítsa ki a keresztszorzatot! a = {2; 4; 5} и b = {9; -két; 3}.

Döntés:

Válasz: a x b = {19; 43; -42}.